前言
堆排序(HeapSort)，是指利用 堆 这种数据结构所设计的一种排序算法。它是 J.W.J.Williams 在 1964 年发明的。这也是堆诞生的时候，Williams 将其本身作为一个有用的数据结构提出。同年，Robert W.Floyd 发表了一个改进的版本，可以对数组进行就地排序，继续他早期对 treesort 算法的研究。
堆的定义
根据中文维基百科的定义，堆是一种特别的二叉树，满足以下条件的二叉树，可以称之为堆：
- 完全二叉树；
- 每一个节点的值都必须 大于等于或者小于等于 其孩子节点的值。
堆具有以下的特点：
- 可以在 O(logN) 的时间复杂度内向堆中插入元素；
- 可以在 O(logN) 的时间复杂度内向堆中删除元素；
- 可以在 O(1) 的时间复杂度内获取堆中的最大值或最小值。
堆的分类
堆有两种类型：最大堆（大顶堆）和最小堆（小顶堆）。
最大堆：堆中每一个节点的值 都大于等于 其孩子节点的值。所以最大堆的特性是 堆顶元素（根节点）是堆中的最大值。
最小堆：堆中每一个节点的值 都小于等于 其孩子节点的值。所以最小堆的特性是 堆顶元素（根节点）是堆中的最小值。
排序思路
大顶堆在堆排序算法中用于升序排列，而小顶堆相反，用于降序排列。
以大顶堆为例，堆排序过程如下：
- 创建堆(
buildMaxHeap)：用数列构建出一个大顶堆，取出堆顶的数字； - 调整堆(
maxHeapify)：调整剩余的数字，构建出新的大顶堆，再次取出堆顶的数字； - 堆排序(
heapSort)：循环往复，完成整个排序。
代码实现
public static void heapSort(int[] arr) {
// 构建初始大顶堆
buildMaxHeap(arr);
for (int i = arr.length - 1; i > 0; i--) {
// 将最大值放到数组最后
exchange(arr, 0, i);
// 调整剩余数组，使其满足大顶堆
maxHeapify(arr, 0, i);
}
}
// 构建初始大顶堆
public static void buildMaxHeap(int[] arr) {
// 从最后一个非叶子结点开始调整大顶堆，最后一个非叶子结点的下标就是 arr.length / 2-1
for (int i = arr.length / 2 - 1; i >= 0; i--) {
maxHeapify(arr, i, arr.length);
}
}
// 调整大顶堆，第三个参数表示剩余未排序的数字的数量，也就是剩余堆的大小
private static void maxHeapify(int[] arr, int i, int heapSize) {
// 左子结点下标
int l = 2 * i + 1;
// 右子结点下标
int r = l + 1;
// 记录根结点、左子树结点、右子树结点三者中的最大值下标
int largest = i;
// 与左子树结点比较
if (l < heapSize && arr[l] > arr[largest]) {
largest = l;
}
// 与右子树结点比较
if (r < heapSize && arr[r] > arr[largest]) {
largest = r;
}
if (largest != i) {
// 将最大值交换为根结点
exchange(arr, i, largest);
// 再次调整交换数字后的大顶堆
maxHeapify(arr, largest, heapSize);
}
}
// 交换元素
private static void exchange(int[] arr, int i, int j) {
int temp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = temp;
}动画演示
演示动画来源于
visualgo
复杂度分析
堆排序分为两个阶段：初始化建堆（buildMaxHeap）和重建堆（maxHeapify）。所以时间复杂度要从这两个方面分析。
根据数学运算可以推导出初始化建堆的时间复杂度为 O(n)，重建堆的时间复杂度为 O(nlogn)，故堆排序总的时间复杂度为 O(nlogn)。堆排序的空间复杂度为 O(1)，只需要常数级的临时变量。
堆排序是一个优秀的排序算法，但是在实际应用中，快速排序的性能一般会优于堆排序，而且堆排序是不稳定的。
